Waarom heeft een zebra strepen of een giraffe vlekken? Het lijkt willekeurig, maar achter de patronen zit keiharde wiskunde ontdekte de Britse wiskundige Alan Turing.
In deze aflevering van Universiteit van Nederland legt wiskundige Jan Bouwe van den Berg van de Vrije Universiteit Amsterdam uit hoe Turing de ‘code’ van dierpatronen wist te kraken en waarom de theorie ook nu nog zo belangrijk is.
Onder de video gaat Jan Bouwe nog iets verder in op zijn eigen onderzoek naar het terugvertalen van het digitale naar het analoge. Kijk eerst de video en lees dan verder!
Scientias: Heel interessante video over patronen en vooral dat dit eens een keer over een andere ontdekking ging van Alan Turing dan het kraken van de Enigma-machine in de Tweede Wereldoorlog, de Turing complete-code voor computers of zijn homoseksualiteit waar hij voor veroordeeld werd.
Jan Bouwe: “Ja, alleen hij kon niet helemaal uitrekenen welke patronen zouden ontstaan, zoals ik ook in de video zeg. Het was gewoon te ingewikkelde wiskunde om met de hand uit te rekenen. Turing bedacht dus ook heel veel dingen die wiskundig interessant zijn, maar die pas jaren later konden worden uitgerekend. In de video proberen we dat uit te leggen aan de hand van dierpatronen en aan de hand van reactie en diffusie.
Turing combineerde die twee en in zijn model kon hij wel uitrekenen dat er dan patronen ontstaan maar niet welke patronen. Er zit namelijk een essentieel verschil tussen de wiskunde die je nodig hebt om diffusie te begrijpen en de wiskunde, of eigenlijk de computer, die je nodig hebt om ook de reactie goed door te rekenen.”
S: Ja, kun je uitleggen hoe het zit met reactie en diffusie?
JB: “Ja, dan moet ik wel even terug naar mijn eigen onderzoek. dat gaat erover dat je computer allemaal mooie plaatjes maakt, maar een computer rekent digitaal en een zebra is echt analoog. Daar gaat mijn onderzoek over, het digitale terugvertalen naar het analoge.
De formule van Turing representeert heel goed de analoge oplossing van de vergelijking en hij wist ook heel goed dat een computer dat ooit zou moeten kunnen uitrekenen. Zijn artikel is daarmee zijn tijd ver vooruit. Hij voorspelt wat een computer zal kunnen in de toekomst.
Even terug naar reactie en diffusie. Het diffusie-gedeelte is vrij makkelijk omdat het lineair is. Dit betekent dat als je twee oplossingen hebt, dat je ze bij elkaar kunt optellen. Dat deel was toen al 150 jaar oud.
De reactie van hoe snel twee stoffen reageren, dat is al snel niet meer te doen met de hand, daar heb je echt een computer voor nodig, maar wel eentje die veel sneller kan rekenen dan ze in de tijd van Turing konden. ”
S: Hoe werkt dat dan? Waarom is het ene zoveel moeilijker dan het andere?
JB: “Als het lineair is, dan kun je elk deel afzonderlijk uitrekenen. Als het niet meer lineair is, dan gaat alles op alles invloed uitoefenen, denk maar aan weermodellen: heel complex en we weten dat er al zo veel afrondfouten in zullen zitten dat ze na twee weken echt niet meer kloppen.
In de video heb ik het ook nog over een andere wis- en natuurkundige, de Franse Joseph Fourier. Hij bedacht dat je het verspreiden van warmte eigenlijk kon beschrijven in termen van frequenties. Dus frequenties en warmte hebben met elkaar te maken, dat was zijn grote inzicht.
Vergelijk frequenties van warmte met frequenties van geluid. In principe hoor je geluid als geheel, terwijl al die frequenties apart je brein inkomen. Die frequenties reageren onderweg niet met elkaar. Zo heb je dus een lineaire vergelijking en die kun je ook voor warmte gebruiken.
Nou, nu naar Alan Turing. Hij kon uitrekenen welke frequentie die patronen gingen hebben. Dus: wat is de afstand tussen de stippen. Het begin van zo’n patroon kun je nog lineair beschrijven. Dus de frequenties of golflengte van de strepen van een zebra, dat ging nog. Hij kon niet uitrekenen wat er daarna gebeurde.”
S: En wat hebben we hier dan aan?
JB: “Dit soort modellen die een lineair gedeelte met een niet-lineair stuk combineren komen op heel veel plekken voor, zoals bij weersvoorspellingen. Met dat soort simpele vergelijkingen kun je heel ingewikkelde dingen beschrijven en daar hebben we heel veel aan. De patronen van dieren misschien niet zo zeer, maar wel als het gaat om luchtstromen, vloeistofdynamica, etc.
De ontdekking van Turing was dus eigenlijk: als je diffusie, van Fourier, met reactie, dus reactie tussen twee stoffen, combineert, dan krijg je die dierpatronen. Dat was totaal onverwacht. Waarom? Omdat diffusie zegt dat alles zich gelijkmatig verspreidt en glad wordt.”
